方差
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在概率论和数理统计中，方差（英文Variance）用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。在许多实际问题中，研究随机变量和均值之间的偏离程度有着很重要的意义。如下面的例子：
已知某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：
甲仪器测量结果：
乙仪器测量结果：
两台仪器的测量结果的均值都是 a 。但是用上述结果评价一下两台仪器的优劣，很明显，我们会认为乙仪器的性能更好，因为乙仪器的测量结果集中在均值附近。
由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到E(｜X-E(X)｜)能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度. 但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量
E｛[X-E(X)]^2｝ 这一数字特征就是方差。
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方差的定义
设X是一个随机变量，若E｛[X-E(X)]^2｝存在，则称E｛[X-E(X)]^2｝为X的方差，记为D(X)或DX。
即D(X)=E｛[X-E(X)]^2｝，而σ(X)=D(X)^0.5（与X有相同的量纲）称为标准差或均方差。即用来衡量一组数据的离散程度的统计量。
方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。
若X的取值比较集中，则方差D(X)较小；
若X的取值比较分散，则方差D(X)较大。
因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。
方差的计算
由定义知，方差是随机变量 X 的函数
g(X)=[X-E(X)]^2
的数学期望。即：
由方差的定义可以得到以下常用计算公式：
D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
证明：
D(X)=E[X-E(X)]^2
=E｛X^2-2XE(X)+[E(X)]^2｝
=E(X^2)-2[E(X)]^2+[E(X)]^2
=E(X^2)-[E(X)]^2
方差其实就是标准差的平方。
方差的几个重要性质
（1）设c是常数，则D(c)=0。
（2）设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=(c^2)D(X)。
（3）设 X 与 Y 是两个随机变量，则
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E｛[X-E(X)][Y-E(Y)]｝
特别的，当X，Y是两个相互独立的随机变量，上式中右边第三项为0（常见协方差），
则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况.
（4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即P｛X=c｝=1，其中E(X)=c。
常见随机变量的期望和方差
设随机变量X。
X服从(0—1)分布，则E(X)=p D(X)=p(1-p)
X服从泊松分布，即X~ π(λ),则 E(X)= λ，D(X)= λ
X服从均匀分布，即X~U(a，b),则E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)^2/12
X服从指数分布，即X~e(θ), E(X)= θ，D(X)= θ^2
X服从二项分布，即X~B(n,p)，则E(x)=np, D(X)=np(1-p)
X 服从正态分布，即X~N(µ,σ2), 则E(x)=µ, D(X)=σ^2
若Xi~ N(µi,σi^2),i=1,2,…n, 且它们相互独立，则它们的线性组合C1X1+C2X2+…+CnXn(Ci是不全为0的常数)仍然服""从正态分布,且C1X1+C2X2+…+CnXn~N (∑Ciµi, ∑Ci^2σi^2)
统计学的应用
概念
样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。
样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。
方差和标准差。方差和标准差是测算离散趋势最重要、最常用的指标。方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法。标准差为方差的平方根，用S表示。标准差相应的计算公式为
标准差与方差不同的是，标准差和变量的计算单位相同，比方差清楚，因此很多时候我们分析的时候更多的使用的是标准差。
高考实例
（甘肃省，2002年）某校初三年级甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，两个班参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数，经统计和计算后结果如下表所示：
| 班级 | 参加人数 | 平均字数 | 中位数 | 方差 |
| 甲 | 55 | 135 | 149 | 191 |
| 乙 | 55 | 135 | 151 | 110 |
有一位同学根据上表得出如下结论：
①甲、乙两班学生的平均水平相同；
②乙班优秀的人数比甲班优秀的人数多（每分钟输入汉字达150个以上为优秀）；
③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大．上述结论正确的是________（填序号）．
解：填①、②、③，显然①、③是正确的是．对于第②个结论，因为甲的中位数为149，表明甲班优秀人数未过半，而乙的中位数为151，表明乙班优秀人数在半数以上，故乙班优秀的人数比甲班优秀人数多，∴ ②正确．
切比雪夫不等式
定理
设随机变量X就有数学期望E(X)=µ，方差D(X)=σ^2 ，则对于任意整数ε，有不等式
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或 |
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成立。
由切比雪夫不等式可以看出，若 ε 越小，则事件｛｜X-E(X)｜< ε ｝的概率越大，即随机变量X 集中在期望附近的可能性越大.
就只连续性随机变量的情况来证明。
设X的概念密度为 f(x).
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当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏差不小于3σ 的概率的估计式 .
如取ε =3σ
可见，对任给的分布，只要期望和方差D(X)，则 r.v X取值偏离E(X)超过3σ 的概率小于0.111 .
应用实例
例9 已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 .
解：设每毫升白细胞数为X
依题意，E(X)=7300,D(X)=7002
所求为 P(5200 ≤ X≤ 9400)
P(5200≤ X ≤ 9400)
= P(-2100 ≤X-E(X) ≤ 2100)
= P｛ ｜X-E(X)｜ ≤ 2100｝
由切比雪夫不等式，
即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9 .
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